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PROBLEMA 1

Sea:

F(n)= å^p-1_k=1k^n(p-1)+1 -n(n-1)å^p-1_k=1 ((k^2p-1-3k²)/2) - p(p-1)(n(p-1)+1)/2

"Demostrar por inducción que F(n) es divisible por p³, para todo entero n > 0 ( p es un número primo mayor que 2)."

PROBLEMA 2

Usar inducción matemática para probar que:

1+2²ⁿ + 3²ⁿ +2( (-1)^FIB(n) + 1) Es divisible por 7 para todo n perteneciente a los naturales.

(FIB(n+2)=FIB(n+1)+FIB(n); FIB(1)=1,FIB(2)=1.)

PROBLEMA 3

Probar de dos maneras que :

2(2²ⁿ + 5²ⁿ+6²ⁿ )+3(-1)ⁿ⁺¹( (-1)^FIB(n) + 1) Es divisible por 13 para todo n perteneciente a los naturales.

(FIB(n+2)=FIB(n+1)+FIB(n); FIB(1)=1,FIB(2)=1.)

PROBLEMA 4

Supongamos que:S^M_i=1a_i sea divisible por b²c²y que; S^M_i=1a_i^kbc sea divisible por b²c² ,para todo número impar k. (b y c son números primos impares ,b < c y (c-1) no es divisible por b , los a_ison primos relativos con respecto a b y c).

Sea:

å^M_i=1a_i^{1+(b-1)(c-1)n}

Demostrar por inducción que :

"F(n) es divisible por b²c² ,para todo n perteneciente a los naturales unión el cero."

PROBLEMA 5

Sean a, b, c tres números naturales tales que c= a + b . Sea p un factor impar de a²+b²+c²(para la parte 3 y 4 ,p no divisible por 3). Demostrar por inducción que para todo n perteneciente a los naturales:

(a^6n-4+b^6n-4+c^6n-4) es divisible por p.
(a^6n-2+b^6n-2+c^6n-2) es divisible por p².
(a^{2^n}+b^{2^n}+(a+b)^{2^n}) es divisible por p.
(a^{4^n}+b^{4^n}+(a+b)^{4^n}) es divisible por p².

Observación: Notar que las propiedades 3 y 4 son casos particulares de la 1 y 2, pero se pueden demostrar de manera independiente, sin embargo para demostrar la parte 4 es necesario utilizar la parte 3.En la parte 3 y 4 se agrega la condición de que p no es divisible por 3 para no tener que hacer demostraciones adicionales.

PROBLEMA 6

Demostrar que para todo n > 1 perteneciente a los naturales:

åⁿ_i=1F(i)²=F(n)F(n+1)-5
F(n)² + F(n+1)² = F(2n+4) - F(2n-3)

F(1)= 1, F(2)= 6
F(n) = F(n-1) +F(n-2)

PROBLEMA 7

Sea (2p+1) un número primo con p impar mayor que 1. Demostrar por inducción que para todo n perteneciente a los naturales:

å^p_k=1k^{2^n}

Es divisible por (2p+1).Probarlo de tres formas.

Si cambiamos el exponente 2ⁿ por 2n la propiedad se mantiene excepto para n múltiplo de p.Demostrarlo.
No considerar lo anterior en las tres formas solicitadas.

PROBLEMA 8

Sea (4p+1) un número primo con p impar mayor que 1. Demostrar por inducción que para todo n perteneciente a los naturales:

å^p_k=1a_k^{2^n}

Es divisible por (4p+1). Los a_kson todos distintos, pertenecen al conjunto formado por los primeros 2p nómeros naturales y tienen la siguiente propiedad:

a_k^2p- 1 es divisible por (4p+1). Los otros números pertenecientes al mencionado conjunto tienen la propiedad: b_k^2p+ 1 es divisible por (4p+1).

PROBLEMA 9

Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales:

2^2n-1+4^2n-1+9^2n-1

Nunca es un cuadrado perfecto.

PROBLEMA 10

Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales:

8^{2^n}-5^{2^n} Nunca es un cuadrado perfecto.

Demostrarlo de dos maneras.

PROBLEMA 11

Probar que para todo n perteneciente a los naturales unión el cero:

2(13⁶ⁿ⁺¹+30⁶ⁿ⁺¹+100⁶ⁿ⁺¹+200⁶ⁿ⁺¹)+2n(n-2)(13⁷+30⁷+100⁷+200⁷)-n(n-1)(13¹³+30¹³+100¹³+200¹³)

Es divisible por 7³.

PROBLEMA 12

Sea f(a) una función de naturales sobre naturales.
Si ( f(a+b)-kf(a) )es divisible por p para todo entero positivo a,demostrar que existe b₀ tal que ( f(a+b₀b)- f(a) )es divisible por p.

PROBLEMA 13

Demostrar de dos formas que para todo n perteneciente a los naturales unión el cero:

1+2⁴ⁿ⁺²+3⁴ⁿ⁺²+4⁴ⁿ⁺²+5⁴ⁿ⁺²+6⁴ⁿ⁺²

Es divisible por 13.

PROBLEMA 14

Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales unión el cero:
(2(3⁴ⁿ⁺³+4⁴ⁿ⁺³)-25n²+65n+68)
Es divisible por 125.

Este problema puede ser resuelto usando lo señalado en la indicación del Problema 1, pero existe a lo menos una forma adicional para solucionarlo.

PROBLEMA 15

Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales:2^{2^n}+3^{2^n}+5^{2^n}
Es divisible por 19.

Existe a lo menos una forma adicional a las usadas en el Problema 5 para resolver este problema.

PROBLEMA 16

Sea f(n)=(a-1)f(n-1)+af(n-2) y sea g(n)=f(n+2)+af(n+1)+(a-1)f(n)
Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales:

g(n)=(f(1)+f(2))*(2a-1)*a^(n-1)

No es necesario determinar la fórmula cerrada de f(n).

PROBLEMA 17

Sea f(n)=3(f(n-1)+f(n-2))+1, f(1)=f(2)=1
Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales:
(f(3n)+f(3n+1))es divisible por 32.

PROBLEMA 18

Sea p un número primo mayor que 5.
Demostrar que para todo entero n no negativo :

100(2^1+(p-1)n-3^1+(p-1)n-5^1+(p-1)n+6^1+(p-1)n)-n(2^1+100(p-1)-3^1+100(p-1)-5^1+100(p-1)+6^1+100(p-1))

Es divisible por p².

PROBLEMA 19

Sea p un entero positivo . Sea F(n) una función de enteros sobre enteros.
Si F(n) satisface la siguiente congruencia:
(F(n+3)-3F(n+2)+3F(n+1)-F(n)) º 0(mod p³)
Entonces para todo entero no negativo n :
F(n) º (((n-1)(n-2)/2)F(0)-n(n-2)F(1)+(n(n-1)/2)F(2))(mod p³)

PROBLEMA 20

Sea a(n)=a(n-1)+2a(n-2)+1, a(1)=a(2)=1
Probar por inducción completa que para todo entero n >0 :

a(n)=2^n-1-((-1)ⁿ+1)/2

PROBLEMA 21

Consideremos los primeros n² números de Fibonacci ordenados en espiral como se muestra a continuación para n=3 y n=4.

5	3	2
8	1	1
13	21	34

987	610	377	233
5	3	2	144
8	1	1	89
13	21	34	55

Notar que para n=3 (21+1)=2(8+3) y para n=4 (610+5)=5(89+34).Conjeturar y probar este resultado para todo entero n > 2 (no necesariamente por inducción).

PROBLEMA 22

¿Qué sucedería si en el problema 21 cambiamos los números de Fibonacci por los números de Lucas, por números de Fibonacci pares,etc.?

PROBLEMA 23

Sea p un número primo mayor que 3 tal que divide a a²+ab+b² (a y b son primos relativos).Demostrar en más de una forma que para todos los enteros n > 0 :

a^4+(p-1)n+b^4+(p-1)n+(a+b)^4+(p-1)n Es divisible por p²

PROBLEMA 24

Sea (6p+5) un número primo con p entero no negativo. Probar por inducción que para todo entero n >0 :

å^3p+2_k=1k^{2(3^n)}

Es divisible por (6p+5).

PROBLEMA 25

Sea F(n) el enésimo número de Fibonacci.Probar de varias formas que:

F(n)² + F(n+1)²+F(n+2)² + F(n+3)² = 3*F(2n+3)

PROBLEMA 26

Sea F(n) el enésimo número de Fibonacci.Probar que para cada entero no negativo n:

F(5n+3)+F(5n+4)² Es divisible por 11.

PROBLEMA 27

Sea k un entero positivo fijo y sea p un número primo impar.Sea F(n) una función de enteros a enteros que satisface la siguiente congruencia:

å^k_i=0C(k,i) (-1)^k-iF(n+i) º 0(mod p^k)

Si F(a₀),F(a₁),...,F(a_k-1) son divisibles por p^k con (a_i-a_j) no divisible por p para i distinto de j, entonces probar que para todo entero n >0: F(n) es divisible por p^k.

PROBLEMA 28

Sea F(n) el enésimo número de Fibonacci.Sea G(n)=89aⁿ-F(n)a¹¹-F(n-11).
Probar que para cada entero no negativo n: G(n) es divisible por el polinomio a²-a-1.

PROBLEMA 29

Sea 4k+1 un número primo.Demostrar para todo entero n no negativo:

å^2k_i=1 i⁴ⁿ⁺²

Es divisible por 4k+1.

PROBLEMA 30

Sea:

F(n)= å^p-1_k=1(k^n(p-1)+1)-p(p-1)(n(p-1)+1)/2

Y sea G(n)=500500F(n)-n(n-1)F(1001)/2

"Demostrar por inducción que G(n) es divisible por p³, para todo entero n > 0 ( p es un número primo mayor que 13)."