Free Web Hosting Provider - Web Hosting - E-commerce - High Speed Internet - Free Web Page
Search the Web

Induccion
Principal Arriba

 

Arriba
Soluciones

PROBLEMA 1

Sea:

F(n)= åp-1k=1kn(p-1)+1 -n(n-1)åp-1k=1 ((k2p-1-3k2)/2) - p(p-1)(n(p-1)+1)/2

"Demostrar por inducción que F(n) es divisible por p3, para todo entero n > 0 ( p es un número primo mayor que 2)."


PROBLEMA 2

Usar inducción matemática para probar que:

1+22n + 32n +2( (-1)FIB(n) + 1) Es divisible por 7 para todo n perteneciente a los naturales.

(FIB(n+2)=FIB(n+1)+FIB(n); FIB(1)=1,FIB(2)=1.)


PROBLEMA 3

Probar de dos maneras que :

2(22n + 52n+62n )+3(-1)n+1( (-1)FIB(n) + 1) Es divisible por 13 para todo n perteneciente a los naturales.

(FIB(n+2)=FIB(n+1)+FIB(n); FIB(1)=1,FIB(2)=1.)


PROBLEMA 4

Supongamos que: SMi=1ai sea divisible por b2c2 y que; SMi=1aikbc sea divisible por b2c2 ,para todo número impar k. (b y c son números primos impares ,b < c y (c-1) no es divisible por b , los ai son primos relativos con respecto a b y c).

Sea:

åMi=1ai1+(b-1)(c-1)n

Demostrar por inducción que :

"F(n) es divisible por b2c2 ,para todo n perteneciente a los naturales unión el cero."


PROBLEMA 5

Sean a, b, c tres números naturales tales que c= a + b . Sea p un factor impar de a2+b2+c2(para la parte 3 y 4 ,p no divisible por 3). Demostrar por inducción que para todo n perteneciente a los naturales:

    1. (a6n-4+b6n-4+c6n-4) es divisible por p.

       

    2. (a6n-2+b6n-2+c6n-2) es divisible por p2.

       

    3. (a2^n+b2^n+(a+b)2^n) es divisible por p.

       

    4. (a4^n+b4^n+(a+b)4^n) es divisible por p2.

 

Observación: Notar que las propiedades 3 y 4 son casos particulares de la 1 y 2, pero se pueden demostrar de manera independiente, sin embargo para demostrar la parte 4 es necesario utilizar la parte 3.En la parte 3 y 4 se agrega la condición de que p no es divisible por 3 para no tener que hacer demostraciones adicionales.


PROBLEMA 6

Demostrar que para todo n > 1 perteneciente a los naturales:

    1. åni=1F(i)2=F(n)F(n+1)-5
    2. F(n)2 + F(n+1)2 = F(2n+4) - F(2n-3)

F(1)= 1, F(2)= 6
F(n) = F(n-1) +F(n-2)

 


PROBLEMA 7

Sea (2p+1) un número primo con p impar mayor que 1. Demostrar por inducción que para todo n perteneciente a los naturales:

åpk=1k2^n

Es divisible por (2p+1).Probarlo de tres formas.

Si cambiamos el exponente 2n por 2n la propiedad se mantiene excepto para n múltiplo de p.Demostrarlo.
No considerar lo anterior en las tres formas solicitadas.


PROBLEMA 8

Sea (4p+1) un número primo con p impar mayor que 1. Demostrar por inducción que para todo n perteneciente a los naturales:

åpk=1ak2^n

Es divisible por (4p+1). Los ak son todos distintos, pertenecen al conjunto formado por los primeros 2p nómeros naturales y tienen la siguiente propiedad:

ak 2p- 1 es divisible por (4p+1). Los otros números pertenecientes al mencionado conjunto tienen la propiedad: bk 2p+ 1 es divisible por (4p+1).


PROBLEMA 9

Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales:

22n-1+42n-1+92n-1

Nunca es un cuadrado perfecto.


PROBLEMA 10


Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales:

82^n-52^n Nunca es un cuadrado perfecto.

Demostrarlo de dos maneras.


PROBLEMA 11


Probar que para todo n perteneciente a los naturales unión el cero:

2(136n+1+306n+1+1006n+1+2006n+1)+2n(n-2)(137+307+1007+2007)-n(n-1)(1313+3013+10013+20013)


Es divisible por 73.

 


PROBLEMA 12

Sea f(a) una función de naturales sobre naturales.
Si ( f(a+b)-kf(a) )es divisible por p para todo entero positivo a,demostrar que existe b0 tal que ( f(a+b0b)- f(a) )es divisible por p.


PROBLEMA 13

Demostrar de dos formas que para todo n perteneciente a los naturales unión el cero:

1+24n+2+34n+2+44n+2+54n+2+64n+2

Es divisible por 13.


PROBLEMA 14

Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales unión el cero:
(2(34n+3+44n+3)-25n2+65n+68)
Es divisible por 125.

Este problema puede ser resuelto usando lo señalado en la indicación del Problema 1, pero existe a lo menos una forma adicional para solucionarlo.


PROBLEMA 15

Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales:22^n+32^n+52^n
Es divisible por 19.

Existe a lo menos una forma adicional a las usadas en el Problema 5 para resolver este problema.


PROBLEMA 16

Sea f(n)=(a-1)f(n-1)+af(n-2) y sea g(n)=f(n+2)+af(n+1)+(a-1)f(n)
Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales:

g(n)=(f(1)+f(2))*(2a-1)*a(n-1)

No es necesario determinar la fórmula cerrada de f(n).


PROBLEMA 17

Sea f(n)=3(f(n-1)+f(n-2))+1, f(1)=f(2)=1
Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales:
(f(3n)+f(3n+1))es divisible por 32.



PROBLEMA 18

Sea p un número primo mayor que 5.
Demostrar que para todo entero n no negativo :

100(21+(p-1)n-31+(p-1)n-51+(p-1)n+61+(p-1)n)-n(21+100(p-1)-31+100(p-1)-51+100(p-1)+61+100(p-1))

Es divisible por p2.


PROBLEMA 19

Sea p un entero positivo . Sea F(n) una función de enteros sobre enteros.
Si F(n) satisface la siguiente congruencia:
(F(n+3)-3F(n+2)+3F(n+1)-F(n)) º 0(mod p3)
Entonces para todo entero no negativo n :
F(n) º (((n-1)(n-2)/2)F(0)-n(n-2)F(1)+(n(n-1)/2)F(2))(mod p3)


PROBLEMA 20

Sea a(n)=a(n-1)+2a(n-2)+1, a(1)=a(2)=1
Probar por inducción completa que para todo entero n >0 :

a(n)=2n-1-((-1)n+1)/2

PROBLEMA 21

Consideremos los primeros n2 números de Fibonacci ordenados en espiral como se muestra a continuación para n=3 y n=4.

5 3 2
8 1 1
13 21 34
987 610 377 233
5 3 2 144
8 1 1 89
13 21 34 55

Notar que para n=3 (21+1)=2(8+3) y para n=4 (610+5)=5(89+34).Conjeturar y probar este resultado para todo entero n > 2 (no necesariamente por inducción).


PROBLEMA 22

¿Qué sucedería si en el problema 21 cambiamos los números de Fibonacci por los números de Lucas, por números de Fibonacci pares,etc.?


PROBLEMA 23

Sea p un número primo mayor que 3 tal que divide a a2+ab+b2 (a y b son primos relativos).Demostrar en más de una forma que para todos los enteros n > 0 :

a4+(p-1)n+b4+(p-1)n+(a+b)4+(p-1)n Es divisible por p2


PROBLEMA 24

Sea (6p+5) un número primo con p entero no negativo. Probar por inducción que para todo entero n >0 :

å3p+2k=1k2(3^n)

Es divisible por (6p+5).


PROBLEMA 25

Sea F(n) el enésimo número de Fibonacci.Probar de varias formas que:

F(n)2 + F(n+1)2+F(n+2)2 + F(n+3)2 = 3*F(2n+3)


PROBLEMA 26

Sea F(n) el enésimo número de Fibonacci.Probar que para cada entero no negativo n:

F(5n+3)+F(5n+4)2 Es divisible por 11.


PROBLEMA 27

Sea k un entero positivo fijo y sea p un número primo impar.Sea F(n) una función de enteros a enteros que satisface la siguiente congruencia:

åki=0C(k,i) (-1)k-iF(n+i) º 0(mod pk)

Si F(a0),F(a1),...,F(ak-1) son divisibles por pk con (ai-aj) no divisible por p para i distinto de j, entonces probar que para todo entero n >0: F(n) es divisible por pk.


PROBLEMA 28

Sea F(n) el enésimo número de Fibonacci.Sea G(n)=89an-F(n)a11-F(n-11).
Probar que para cada entero no negativo n: G(n) es divisible por el polinomio a2-a-1.


PROBLEMA 29

Sea 4k+1 un número primo.Demostrar para todo entero n no negativo:

å2ki=1 i4n+2

Es divisible por 4k+1.


PROBLEMA 30

Sea:

F(n)= åp-1k=1(kn(p-1)+1)-p(p-1)(n(p-1)+1)/2

Y sea G(n)=500500F(n)-n(n-1)F(1001)/2

"Demostrar por inducción que G(n) es divisible por p3, para todo entero n > 0 ( p es un número primo mayor que 13)."